Bài tập 1, § 2

(a) Chứng minh rằng trong vành đa thức Noether $A = \mathbf{Z}[X]$ với một ẩn trên $\mathbf{Z}$, iđêan $m = 2A + AX$ là cực đại và iđêan $q = 4A + AX$ là m-nguyên sơ, nhưng không bằng một lũy thừa của m.

(b) Trong vành $B = \mathbf{Z}[2X, X^2, X^3] \subset A$ là Noether, chứng minh rằng iđêan $p = 2BX + BX^2$ là nguyên tố, nhưng $p^2$ không là p-nguyên sơ, mặc dù căn của nó bằng p.

(c) Cho K là một trường giao hoán và A là vành thương của $K[X, Y, Z]$ bởi iđêan sinh bởi $Z^2 - XY$; gọi x, y, z là các ảnh chính tắc của X, Y, Z trong A. Chứng minh rằng $p = Ax + Az$ là nguyên tố, rằng $p^2$ không là nguyên sơ và rằng $p^2 = a \cap b^2$ là một phân tích nguyên sơ của $p^2$, trong đó $a = Ax$ và $b = Ax + Ay + Az$.