Exercice 12, § 2

Soient A un anneau, M un A-module, N un sous-module de M. a) Pour que $\operatorname{Ass}_f(M/N)$ (§ 1, exerc. 17) soit réduit à un seul élément $p$, il faut et il suffit que $N \neq M$ et que pour tout $a \in A$, l’homothétie de rapport $a$ dans $M/N$ soit injective ou presque nilpotente ; on a alors $p = r_M(N)$ (exerc. 11) et on dit encore que N est primaire (ou $p$-primaire) dans M. Pour tout sous-module $M'$ de M tel que $N \subset M'$ et $N \neq M'$, N est alors $p$-primaire dans $M'$. b) Si $r_M(N)$ est un idéal maximal de A, montrer que N est primaire dans M. En particulier, tout idéal $q$ de A qui n’est contenu que dans un seul idéal premier $m$ (nécessairement maximal) est $m$-primaire. c) Soit A un anneau intègre, et $x$ un élément de A tel que $p = Ax$ soit premier ; alors, pour tout entier $n \geq 1$, $Ax^n$ est $p$-primaire. Montrer que ce résultat ne s’étend pas lorsque A n’est pas intègre (prendre $A = B/b$, où $B = K[X, Y]$ (K étant un corps), $b = BX^2 + BXY$). d) Si A est un anneau absolument plat (chap. I, § 2, exerc. 17), les idéaux primaires de A sont identiques aux idéaux premiers de A. e) Donner un exemple de $\mathbf{Z}$-module M tel que $\{0\}$ soit $p$-primaire (pour un nombre premier $p$) mais que pour aucun $a \neq 0$ dans $\mathbf{Z}$, l’homothétie $a_M$ ne soit nilpotente (cf. chap. II, § 2, exerc. 3).