Bài tập 12, § 2

Cho $A$ là một vành, $M$ là một $A$-môđun và $N$ là một môđun con của $M$. (a) Để $\operatorname{Ass}_f(M/N)$ (§ 1, Bài tập 17) được thu gọn thành một phần tử duy nhất $p$, điều kiện cần và đủ là $N \neq M$ và, với mọi $a \in A$, phép vị tự với tỉ số $a$ trên $M/N$ là đơn ánh hoặc lũy linh gần như; khi đó $p = r_M(N)$ (Bài tập 11) và ta cũng nói rằng $N$ là nguyên sơ (hay $p$-*nguyên sơ*) trong $M$. Với mọi môđun con $M'$ của $M$ sao cho $N \subset M'$ và $N \neq M'$, khi đó $N$ là $p$-nguyên sơ trong $M'$. (b) Nếu $r_M(N)$ là một iđêan cực đại của $A$, hãy chứng minh rằng $N$ là nguyên sơ trong $M$. Đặc biệt, mọi iđêan $q$ của $A$ chỉ được chứa trong một iđêan nguyên tố duy nhất $m$ (nhất thiết cực đại) là $m$-nguyên sơ. (c) Cho $A$ là một miền nguyên và $x$ là một phần tử của $A$ sao cho $p = Ax$ là nguyên tố; khi đó, với mọi số nguyên $n \geq 1$, $Ax^n$ là $p$-nguyên sơ. Hãy chứng minh rằng kết quả này không mở rộng được đến trường hợp A không phải là một miền nguyên (lấy $A = B/b$, trong đó $B = K[X, Y]$ (K là một trường), $b = BX^2 + BXY$). (d) Nếu A là một vành phẳng tuyệt đối (Chương I, § 2, Bài tập 17), các iđêan nguyên sơ của A trùng với các iđêan nguyên tố của A. (e) Hãy cho một ví dụ về một Z-môđun M sao cho {0} là $p$-nguyên sơ (đối với một số nguyên tố $p$) nhưng với không một $a \neq 0$ nào trong $\mathbf{Z}$ thì phép vị tự $a_M$ là lũy linh (xem Chương II, § 2, Bài tập 3).