Exercice 13, § 2

a) Soit $u : M \to M'$ un homomorphisme surjectif de A-modules. Montrer que si $N'$ est un sous-module primaire dans $M'$, $N = \bar{u}^1(N')$ est primaire dans M, et $r_M(N) = r_{M'}(N')$. b) Toute intersection finie de sous-modules $p$-primaires dans un A-module M est $p$-primaire dans M. La proposition s’étend-elle aux intersections quelconques ? c) Pour qu’un A-module M soit tel que $\{0\}$ soit $p$-primaire dans M, il faut et il suffit que pour tout sous-module N de M, on ait $\operatorname{Supp}(N) = V(p)$. (Remarquer que pour tout $x \in M$, M contient un sous-module isomorphe à $A/\operatorname{Ann}(x)$.)