Exercice 15, § 2

Soient q un idéal primaire dans un anneau A, p sa racine. Montrer que dans l’anneau de polynômes B = A[X], l’idéal Bq est primaire et a pour racine l’idéal premier Bp. (Soient f(X) = $\sum_j a_j X^j$ et g(X) = $\sum_j b_j X^j$ deux polynômes non constants tels que fg ∈ Bq et f ∉ Bp. Soit $a_m$ le coefficient de plus petit indice n’appartenant pas à p ; soit α l’idéal de A engendré par $a_0, a_1, ..., a_{m-1}$ ; il existe un entier k tel que $\alpha^k \subset q$. Soit $q_i$ le transporteur de $\alpha^{k-i}$ dans q pour $i \leq k$. Montrer par récurrence sur i que l’on a $g \in Bq_i$, en raisonnant par l’absurde.)