Bài tập 15, § 2

Cho q là một iđêan nguyên sơ trong một vành A và p là căn của nó. Chứng minh rằng trong vành đa thức $B = A[X]$ iđêan $Bq$ là nguyên sơ và có căn là iđêan $Bp$. (Cho $f(X) = \sum_j a_j X^j$ và $g(X) = \sum_j b_j X^j$ là hai đa thức không hằng sao cho $fg \in Bq$ và $f \notin Bp$. Gọi $a_1$ là hệ số có chỉ số nhỏ nhất không thuộc p; gọi a là iđêan của A sinh bởi $a_1, a_2, \ldots, a_{m-1}$; tồn tại một số nguyên k sao cho $a^k \subset q$. Gọi $q_i$ là toán tử vận chuyển của $a^{k-i}$ vào q với $i \leq k$. Chứng minh bằng quy nạp theo i rằng $g \in Bq_i$, lập luận bằng phản chứng.)