Exercice 18, § 2

a) Soient A un anneau, M un A-module. Montrer que si p est un élément minimal de Ass_f(M), le saturé de $\{0\}$ pour p dans M est p-primaire dans M (cf. § 1, exerc. 17 b)). b) Soit p un idéal premier de A. Montrer que pour tout entier $n > 0$ le saturé dans A de $p^n$ pour p est p-primaire dans A (utiliser l’exerc. 14 a)) ; ce saturé se note $p^{(n)}$ et s’appelle la puissance symbolique n-ème de p. c) Montrer que si tout idéal premier de A est maximal, alors, pour tout A-module M et tout sous-module N de M, N est intersection d’une famille (finie ou non) de sous-modules primaires dans M (utiliser a) et l’exerc. 17 i) du § 1).