Bài tập 18, § 2

(a) Cho $A$ là một vành và $M$ là một $A$-môđun. Chứng minh rằng, nếu $p$ là một phần tử cực tiểu của $\operatorname{Ass}_f(M)$, thì bão hòa của $\{0\}$ đối với $p$ trong $M$ là $p$-nguyên sơ trong $M$ (xem § 1, Bài tập 17 (b)).

(b) Cho $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n > 0$, bão hòa trong $A$ của $p^n$ đối với $p$ là $p$-nguyên sơ trong $A$ (dùng Bài tập 14 (a)); bão hòa này được ký hiệu là $p^{(n)}$ và được gọi là lũy thừa ký hiệu thứ $n$ của $p$.

(c) Chứng minh rằng, nếu mọi iđêan nguyên tố của $A$ đều là cực đại, thì, với mọi $A$-môđun $M$ và mọi môđun con $N$ của $M$, $N$ là giao của một họ (hữu hạn hoặc không) các môđun con nguyên sơ trong $M$ (dùng (a) và Bài tập 17 (i) của § 1).