Exercice 22, § 2

Soient E un A-module, F un sous-module de E.

a) Soit $p$ un idéal premier de A, $a$ un élément de A tel que $a \notin p$ et que $Q = F : (a)$ soit $p$-primaire dans E. Montrer que l’on a $F = Q \cap (F + aE)$.

b) Supposons qu’il existe $b \in A$ et $x \in E$ tel que $b^n x \notin F$ pour tout $n > 0$. Montrer que s’il existe un entier $n > 0$ tel que $F : b^{n+1} = F : b^n$, on a $F = (F + Ab^n x) \cap (F : (b^n))$.

c) On suppose que F est irréductible par rapport à E (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 16), et on considère les trois propriétés suivantes :

$\alpha)$ F est primaire dans E.

$\beta)$ Pour tout idéal premier $p$ de A, le saturé de F pour $p$ dans E est de la forme $F : (a)$ pour un $a \notin p$.

$\gamma)$ Pour tout $b \in A$, la suite $(F : (b^n))_{n \geqslant 1}$ est stationnaire.

Montrer que chacune des conditions $\beta), \gamma)$ entraîne $\alpha)$ (utiliser $\alpha$) et b) et l’exerc. 18 a)). Si E est de type fini, les trois conditions $\alpha), \beta)$ et $\gamma)$ sont équivalentes (cf. exerc. 20 b) et 20 c)).

d) Soient K un corps, A l’anneau $K[X, Y]$, $\mathfrak{m}$ l’idéal maximal $AX + AY$ dans A ; montrer que l’idéal $\mathfrak{m}^2$ est primaire mais non irréductible.

e) Soient A un anneau non nécessairement commutatif, E un A-module à gauche noethérien. Montrer que tout sous-module F de E est intersection d’une famille finie de sous-modules irréductibles dans E (considérer un sous-module de E maximal parmi ceux qui ne sont pas intersections finies de sous-modules irréductibles).

f) Déduire de e) et c) une nouvelle démonstration du th. 1 du n° 2.