Bài tập 22, § 2

Cho E là một A-môđun và F là một môđun con của E. (a) Cho p là một iđêan nguyên tố của A và $a$ là một phần tử của A sao cho $a \notin p$ và $Q = F : (a)$ là p-nguyên sơ trong E. Chứng minh rằng $F = Q \cap (F + aE)$. (b) Giả sử tồn tại $b \in A$ và $x \in E$ sao cho $b^n x \notin F$ với mọi $n > 0$. Chứng minh rằng, nếu tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $F : b^{n+1} = F : b^n$, thì $F = (F + Ab^n x) \cap (F : (b^n))$. (c) Giả sử F là bất khả quy đối với E (Đại số, chương II, § 2, Bài tập 16) và xét ba tính chất sau: $(\alpha)$ F là nguyên sơ trong E. $(\beta)$ Với mọi iđêan nguyên tố p của A, bão hòa của F đối với p trong E có dạng $F : (a)$ với một $a \notin p$ nào đó. $(\gamma)$ Với mọi $b \in A$, dãy $(F : (b^n))_{n \geq 1}$ là dừng. Chứng minh rằng mỗi điều kiện $(\beta)$, $(\gamma)$ đều suy ra $(a)$ (dùng (a) và (b) và Bài tập 18 (a)). Nếu E là sinh hữu hạn, ba điều kiện $(a)$, $(\beta)$ và $(\gamma)$ là tương đương (xem Bài tập 20 (b) và 20 (c)). (d) Cho K là một trường, A là vành $K[X, Y]$ và m là iđêan cực đại $AX + AY$ của A; chứng minh rằng iđêan $m^2$ là nguyên sơ nhưng không bất khả quy. (e) Cho A là một vành không nhất thiết giao hoán và E là một A-môđun Noether trái. Chứng minh rằng mọi môđun con F của E là giao của một họ hữu hạn các môđun con bất khả quy trong E (xét một môđun con của E cực đại trong số các môđun con không là giao hữu hạn của các môđun con bất khả quy). (f) Suy ra từ (e) và (c) một chứng minh mới của Định lý 1 của no. 2.