Exercice 23, § 2

Soit A un anneau. On dit qu’un A-module E est laskérien s’il est de type fini et si tout sous-module de E possède une décomposition primaire dans E.**

a) Pour qu’un A-module de type fini E soit laskérien, il faut et il suffit qu’il vérifie les deux axiomes suivants :

(LA_I) Pour tout sous-module F de E et tout idéal premier p de A, le saturé de F pour p dans E est de la forme F : (a) pour un $a \notin p$.

(LA_{II}) Pour tout sous-module F de E, toute suite décroissante ($\mathrm{sat}_{s_n}(F)$) (où $(S_n)$ est une suite décroissante quelconque de parties multiplicatives de A) est stationnaire.

(Pour montrer que les conditions sont suffisantes, prouver d’abord, en utilisant (LA_I) et les exerc. 18 a) et 22 a), que, pour tout sous-module F de E, il existe un sous-module Q de E, primaire pour un idéal $p \supset F : E$, et un sous-module $G = F + aE$, où $a \notin p$, tels que $F = Q \cap G$. Raisonner ensuite par l’absurde : montrer qu’il existerait une suite infinie $(Q_n)$ de sous-modules $p_n$-primaires de E, et une suite strictement croissante $(G_n)$ de sous-modules de E tels que, si on pose $H_n = Q_1 \cap Q_2 \cap \ldots \cap Q_n$ : $1^\circ$ on ait $F = H_n \cap G_n$ ; $2^\circ$ $G_n$ soit maximal parmi les sous-modules G contenant $G_{n-1}$ et tels que $F = H_n \cap G$ ; $3^\circ$ il existe $a_n \notin p_n$ tel que $a_n E \subset G_n$. Montrer alors que si $S_n = \bigcap_{1 \leq i \leq n} (A - p_i)$, $S_n$ rencontre $G_n : E$, et en déduire que $\mathrm{sat}_{s_n}(F) = H_n$. Conclure à l’aide de (LA_{II}.))

b) Donner un exemple d’anneau A tel que le A-module A ne vérifie pas (LAI), mais où tout idéal $a \subset A$ est irréductible et l’ensemble des saturés $\mathrm{sat}_S(a)$ pour toutes les parties multiplicatives S de A est fini (cf. exerc. 19).*

c) Soient K un corps, $B = K[[X]]$ l’algèbre des séries formelles sur K, m l’idéal maximal de B, formé des séries formelles sans terme constant. Dans l’algèbre produit $B^{\mathbf{N}}$, on considère la sous-algèbre A engendrée par 1 et l’idéal $n = m^{(\mathbf{N})}$. Montrer que dans A les seuls idéaux premiers distincts de $n$ sont les idéaux sommes directes dans $n$ de tous les idéaux composants sauf un ; toute suite strictement croissante d’idéaux premiers de A a donc au plus deux éléments. Soit $a \neq A$ un idéal de A, et soit S une partie multiplicative de A ne rencontrant pas $a$ ; si $a_n$ (resp. $S_n$) est la projection de $a$ (resp. S) sur le n-ème facteur $B_n$ de $B^{\mathbf{N}}$, montrer que $\mathrm{sat}_S(a)$ est somme directe des idéaux $\mathrm{sat}_{s_n}(a_n)$ (observer que si $s \in S$, si $s_n \in S_n$ est la n-ème projection de s, et si $x_n \in \mathrm{sat}_{s_n}(a_n)$ est tel que $s_n x_n \in a_n$, alors $s^2 x_n \in a$). En déduire que A vérifie l’axiome (LA_I) mais non (LA_{II}) (utiliser l’exerc. 20 b)).

d) Montrer que si un A-module E vérifie l’axiome (LA_I), tout sous-module de E est intersection d’une famille (finie ou non) de sous-modules primaires dans E (raisonner comme dans a), par récurrence transfinie).

e) Soient E un A-module de type fini, $E' \subset E$ un sous-module de type fini. Pour que E soit laskérien, il faut et il suffit que $E'$ et $E/E'$ le soient. En particulier, si A est un anneau laskérien, tout A-module de type fini est laskérien. Si E est un A-module laskérien, $S^{-1}E$ est un $S^{-1}A$-module laskérien pour toute partie multiplicative S de A.

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