Bài tập 23, § 2

Cho A là một vành. Một A-môđun $E$ được gọi là Laskerian nếu nó sinh hữu hạn và nếu mọi môđun con của E đều có một phân tích nguyên sơ trong E. (a) Để một A-môđun sinh hữu hạn E là Laskerian, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn hai tiên đề sau: (LA,) Với mọi môđun con F của E và mọi iđêan nguyên tố p của A, bão hòa của F đối với p trong E có dạng $F : (a)$ với một $a \notin p$ nào đó. (LA,) Với mọi môđun con F của E, mọi dãy giảm $(\mathrm{sat}_{S_n}(F))$ (trong đó $S_n$ là một dãy giảm bất kỳ của các tập con nhân của $\mathbf{A}$) đều dừng. (Để chỉ ra rằng các điều kiện là đủ, trước hết hãy chứng minh, dùng (LA,) và các Bài tập 18 (a) và 22 (a), rằng, với mọi môđun con F của E, tồn tại một môđun con Q của E là nguyên sơ đối với một iđêan $p \supset F : E$ nào đó và một môđun con $G = F + aE$, trong đó $a \notin p$, sao cho $F = Q \cap G$. Sau đó lập luận bằng phản chứng: hãy chỉ ra rằng sẽ tồn tại một dãy vô hạn $(Q_n)$ các môđun con $p_n$-nguyên sơ của E và một dãy tăng ngặt $(G_n)$ các môđun con của E sao cho, nếu viết $H_n = Q_1 \cap Q_2 \cap \ldots \cap Q_n$: (1) $F = H_n \cap G_n$; (2) $G_n$ là cực đại trong số các môđun con G chứa $G_{n-1}$ và sao cho

F = H_n \cap G; (3) tồn tại $a, \notin p_n$ sao cho $a_n E \subset G_n$. Khi đó hãy chỉ ra rằng, nếu $S_n = \bigcap_{1 \leq i \leq n} (A - p_i)$, S, giao với $G_n : E$ và suy ra rằng $\operatorname{sat}_{S_n}(F) = H_n$. Kết luận nhờ (LA_{II}).)

(b) Hãy cho một ví dụ về một vành A sao cho A-môđun A không thỏa mãn (LA,) nhưng mọi iđêan $a \subset A$ đều bất khả quy và tập hợp các bão hòa $\operatorname{sat}_S(a)$ đối với mọi tập con nhân S của A là hữu hạn (xem Bài tập 19).*

(c) Cho K là một trường, $B = K[[X]]$ là đại số các chuỗi lũy thừa hình thức trên K và m là iđêan cực đại của B gồm các chuỗi lũy thừa hình thức không có số hạng hằng. Trong đại số tích $B^\mathbf{N}$, xét đại số con A sinh bởi 1 và iđêan $n = m^{(\mathbf{N})}$. Hãy chỉ ra rằng trong A các iđêan nguyên tố duy nhất phân biệt với n là các iđêan là các tổng trực tiếp trong n của tất cả các iđêan thành phần trừ một iđêan; mọi dãy tăng ngặt các iđêan nguyên tố của A khi đó có nhiều nhất hai phần tử. Cho $a \neq A$ là một iđêan của A và cho S là một tập con nhân của A không giao với a; nếu a, (tương ứng S,) là phép chiếu của a (tương ứng S) lên nhân tử thứ n B, của $B^\mathbf{N}$, hãy chỉ ra rằng $\operatorname{sat}_S(a)$ là tổng trực tiếp của các iđêan $\operatorname{sat}_{S_n}(a_n)$ (chú ý rằng, nếu $s \in S, s_n \in S,$ là phép chiếu thứ n của s và $x_n \in \operatorname{sat}_{S_n}(a_n)$ sao cho $s_n x_n \in a,$ thì $s^2 x_n \in a$). Suy ra rằng A thỏa mãn tiên đề (LA,) nhưng không thỏa mãn (LA,,) (dùng Bài tập 20 (b)).

(d) Hãy chỉ ra rằng, nếu một A-môđun E thỏa mãn tiên đề (LA,,), mọi môđun con của E là giao của một họ (hữu hạn hoặc không) các môđun con nguyên sơ trong E (lập luận như trong (a), bằng quy nạp siêu hạn).

(e) Cho E là một A-môđun sinh hữu hạn và $E' \subset E$ là một môđun con sinh hữu hạn. Để E là Laskerian, điều kiện cần và đủ là E' và $E/E'$ đều là như vậy. Đặc biệt, nếu A là một vành Laskerian, mọi A-môđun sinh hữu hạn đều là Laskerian. Nếu E là một A-môđun Laskerian, $S^{-1}E$ là một $S^{-1}A$-môđun Laskerian với mọi tập con nhân S của A.