Exercice 29, § 2

Soit A un anneau fortement laskérien (exerc. 28).

a) Soient a, b deux idéaux de A, ab = $\bigcap_{i=1}^{n} q_i$ une décomposition primaire réduite de ab dans A, c l’intersection de ceux des q_i dont la racine ne contient pas b ; montrer que l’on a a ⊂ c (si q_i est tel que sa racine p_i ne contienne pas b et si x ∈ b et x ∉ p_i, considérer le produit ax). b) Déduire de a) qu’il existe trois idéaux a', b', c et un entier s > 0 tels que a^s ⊂ a', b^s ⊂ b', (a + b)^s ⊂ c, et ab = a' ∩ b = a ∩ b' = a ∩ b ∩ c. c) Montrer que pour toute famille finie (a_k) d’idéaux de A, il existe un entier m > 0 tel que $\bigcap_k a_k^m \subset \prod_k a_k$ (appliquer b) en raisonnant par récurrence sur le nombre d’idéaux a_k.

d) Pour tout idéal a de A, montrer que l’intersection b = $\bigcap_{n=1}^{\infty} a^n$ est l’idéal des x ∈ A tels que x ∈ xa (appliquer b) au produit (Ax)a). En déduire que b est l’intersection des composantes primaires de {0} (pour une décomposition primaire réduite de {0}) dont les racines rencontrent 1 + a. e) Déduire de d) que pour tout idéal premier p de A, l’intersection des puissances symboliques p^{(n)} (exerc. 18 b)) pour n ∈ $\mathbf{N}$ est l’idéal des x ∈ A tels que x ∈ xp (considérer l’anneau A_p).