Bài tập 29, § 2

Cho $A$ là một vành Laskerian mạnh (Bài tập 28).

a) Cho a, b là hai iđêan của $A$, $ab = \bigcap_{i=1}^{n} q_i$ là một phân tích nguyên sơ rút gọn của $ab$ trong $A$, c là giao của các $q_i$ mà nghiệm của chúng không chứa b; chứng minh rằng ta có $a \subset c$ (nếu $q_i$ là sao cho nghiệm $p_i$ của nó không chứa b và nếu $x \in b$ và $x \notin p_i$, xét tích ax).

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại ba iđêan a', b', c và một số nguyên s > 0 sao cho $a^s \subset a'$, $b^s \subset b'$, $(a + b)^s \subset c$, và $ab = a' \cap b = a \cap b' = a \cap b \cap c$.

c) Chứng minh rằng với mọi họ hữu hạn $(a_k)$ các iđêan của $A$, tồn tại một số nguyên m > 0 sao cho $\bigcap_k a_k^m \subset \prod_k a_k$ (áp dụng b) bằng lập luận quy nạp theo số các iđêan a_k).

d) Với mọi iđêan a của $A$, chứng minh rằng giao b = $\bigcap_{n=1}^{\infty} a^n$ là iđêan của các x ∈ A sao cho $x \in xa$ (áp dụng b) cho tích (Ax)a). Suy ra rằng b là giao của các thành phần nguyên sơ của {0} (đối với một phân tích nguyên sơ rút gọn của {0}) mà các nghiệm của chúng giao với $1 + a$.

e) Suy ra từ d) rằng với mọi iđêan nguyên tố p của $A$, giao của các lũy thừa tượng trưng $p^{(n)}$ (Bài tập 18 b)) với $n \in \mathbf{N}$ là iđêan của các x ∈ A sao cho $x \in xp$ (xét vành $A_p$).