Exercice 3, § 2

Soient $A$ un anneau nœthérien, $M$ un $A$-module de type fini. Soit $Q$ un sous-module $p$-primaire dans $M$. La borne inférieure des entiers $n \geq 1$ tels que $p^nM \subset Q$ est appelée l’exposant de $Q$ dans $M$, et notée $e(M/Q)$.

Soit $(Q_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de sous-modules $p$-primaires dans $M$. Pour que $Q = \bigcap_{\lambda \in L} Q_\lambda$ soit $p$-primaire dans $M$, il faut et il suffit que la famille $(e(M/Q_\lambda))_{\lambda \in L}$ soit majorée ; on a alors $e(M/Q) \geq e(M/Q_\lambda)$ pour tout $\lambda \in L$.