Exercice 30, § 2

Soit M un A-module, et soit N un sous-module de M admettant une décomposition primaire réduite N = $\bigcap_{i=1}^{n} Q_i$; soit p_i l’idéal premier associé à Q_i.

a) Montrer que si $b$ est un idéal de $A$ qui n’est contenu dans aucun des $p_i$, on a $N : b = N$ (cf. exerc. 17).

b) Si chacun des $Q_i$ est fortement primaire dans $M$, montrer réciproquement que si l’on a $N : b = N$, $b$ n’est contenu dans aucun des $p_i$.

(Remarquer que si $b \subset p_i$ et $P = \bigcap_{j \neq i} Q_j$, on a $b^r P \subset N$ pour un entier $r$ convenable, et en déduire que si l’on avait $N : b = N$, on aurait $P = N$.) En déduire qu’il existe alors $\beta \in b$ tel que $N : (\beta) = N$.