Bài tập 30, § 2

Cho $M$ là một $A$-môđun, và cho $N$ là một môđun con của $M$ có một phân tích nguyên sơ rút gọn $N = \bigcap_{i=1}^{n} Q_i$; cho p_i là iđêan nguyên tố liên kết với $Q_i$.

a) Bây giờ chứng minh rằng nếu $b$ là một iđêan của $A$ không được chứa trong bất kỳ iđêan nào trong các $p_i$, thì có $N : b = N$ (xem bài tập 17).

b) Nếu mỗi $Q_i$ là nguyên sơ mạnh trong $M$, bây giờ chứng minh ngược lại rằng nếu có $N : b = N$, thì $b$ không được chứa trong bất kỳ iđêan nào trong các $p_i$.

(Lưu ý rằng nếu $b \subset p_i$ và $P = \bigcap_{j \neq i} Q_j$, thì có $b^r P \subset N$ với một số nguyên $r$ thích hợp, và suy ra rằng nếu đã có $N : b = N$, thì sẽ có $P = N$.) Suy ra từ điều này rằng khi đó tồn tại $\beta \in b$ sao cho $N : (\beta) = N$.