Exercice 4, § 2

Soient $A$ un anneau nœthérien, $M$ un $A$-module de type fini. Soit $p$ un élément de $\mathrm{Ass}(M)$, et soit $\mathscr{E}_p$ l’ensemble des sous-modules $Q$ de $M$ tels que $\mathrm{Ass}(M/Q) = \{ p \}$ et $\mathrm{Ass}(Q) = \mathrm{Ass}(M) - \{ p \}$ (ensemble qui n’est pas vide, en vertu du § 1, n° 1, prop. 4). On pose $e_p(M) = \inf_{Q \in \mathscr{E}_p} e(M/Q)$ (exerc. 3).

a) Soit $n_p$ un entier $\geq e_p(M)$, et soit $\mathscr{F}(n_p)$ la partie de $\mathscr{E}_p$ formée des sous-modules $Q$ tels que $e(M/Q) \leq n_p$. Montrer que $\mathscr{F}(n_p)$ possède un plus petit élément $Q(p, n_p)$.

b) Soit $(n_p)_{p \in \mathrm{Ass}(M)}$ une famille d’entiers telle que $n_p \geq e_p(M)$ pour tout $p \in \mathrm{Ass}(M)$. Montrer que les sous-modules $Q(p, n_p)$ correspondant à cette famille forment une décomposition primaire réduite de $\{ 0 \}$ dans $M$, dite canoniquement déterminée par la famille $(n_p)$. Si l’on prend $n_p = e_p(M)$ pour tout $p \in \mathrm{Ass}(M)$, la décomposition primaire formée des $Q(p) = Q(p, e_p(M))$ est dite décomposition primaire canonique de $\{ 0 \}$ dans $M$. Soit $\{ 0 \} = \bigcap_{p \in \mathrm{Ass}(M)} Q'(p)$ une décomposition primaire réduite quelconque de $\{0\}$ dans M. Montrer que l’on a $e(M/Q(p)) \leq e(M/Q'(p))$ pour tout $p \in \operatorname{Ass}(M)$ et que si $e(M/Q(p)) = e(M/Q'(p))$ pour un $p$, on a $Q(p) \subset Q'(p)$ ("théorème d’Ortiz").

c) Montrer que $Q(p, n_p)$ est le saturé de $p^n p M$ pour $p$ (utiliser le § 1, no 2, prop. 6); $p$ est le plus petit élément de $\operatorname{Supp}(M/p^n p M)$.

d) Soit S une partie multiplicative de A ne rencontrant pas un idéal premier $p \in \operatorname{Ass}(M)$, et soit Q un sous-module $p$-primaire de M. Montrer que $e(M/Q) = e(S^{-1}M/S^{-1}Q)$. Montrer que si S est une partie multiplicative de A, $\Phi$ l’ensemble des $p \in \operatorname{Ass}(M)$ tels que $S \cap p = \emptyset$, et N le saturé de $\{0\}$ dans M pour S, les $Q(p, n_p)$ pour $p \in \Phi$ forment la décomposition primaire réduite de N dans M, canoniquement déterminée par la famille $(n_p)_{p \in \Phi}$, et les $S^{-1}Q(p, n_p)$ pour $p \in \Phi$ la décomposition primaire réduite de $\{0\}$ dans $S^{-1}M$, canoniquement déterminée par la famille $(n_p)_{p \in \Phi}$. Cas particulier des décompositions primaires canoniques.