Bài tập 4, § 2

Cho A là một vành Noether và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Cho p là một phần tử của Ass(M) và cho $\mathscr{E}_p$ là tập hợp các môđun con Q của M sao cho $\operatorname{Ass}(M/Q) = \{p\}$ và $\operatorname{Ass}(Q) = \operatorname{Ass}(M) - \{p\}$ (một tập hợp không rỗng theo § 1, no. 1, Mệnh đề 4). Ta viết $e_p(M) = \inf_{Q \in \mathscr{E}_p} e(M/Q)$ (Bài tập 3).

(a) Cho n, là một số nguyên $\geq e_p(M)$ và cho $\mathscr{F}(n_p)$ là tập con của $\mathscr{E}_p$ gồm các môđun con Q sao cho $e(M/Q) \leq n_p$. Chứng minh rằng $\mathscr{F}(n_p)$ có một phần tử nhỏ nhất $Q(p, n_p)$.

(b) Cho $(n_p)_{p \in \operatorname{Ass}(M)}$ là một họ các số nguyên sao cho $n_p \geq e_p(M)$ với mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$. Chứng minh rằng các môđun con $Q(p, n_p)$ tương ứng với họ này tạo thành một phân tích nguyên sơ rút gọn của {0} trong M được gọi là được xác định một cách chính tắc bởi họ $(n_p)$. Nếu lấy $n_p = e_p(M)$ với mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$, phân tích nguyên sơ gồm các $Q(p) = Q(p, e_p(M))$ được gọi là phân tích nguyên sơ chính tắc của {0} trong M. Cho $\{0\} = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} Q'(p)$ là một phân tích nguyên sơ rút gọn bất kỳ của {0} trong M. Chứng minh rằng $e(M/Q(p)) \leq e(M/Q'(p))$ với mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$ và rằng, nếu $e(M/Q(p)) = e(M/Q'(p))$ với một p nào đó, thì $Q(p) \subset Q'(p)$ ("Định lý của Ortiz").

(c) Chứng minh rằng $Q(p, n_p)$ là bão hòa của $p^{n_p} M$ đối với p (sử dụng § 1, no. 2, Mệnh đề 6); p là phần tử nhỏ nhất của $\operatorname{Supp}(M/p^n M)$.

(d) Cho S là một tập con nhân của A không giao với một iđêan nguyên tố $p \in \operatorname{Ass}(M)$ và cho Q là một môđun con p-nguyên sơ của M. Chứng minh rằng $e(M/Q) = e(S^{-1}M/S^{-1}Q)$. Chứng minh rằng, nếu S là một tập con nhân của A, $\Phi$ là tập hợp các $p \in \operatorname{Ass}(M)$ sao cho $S \cap p = \varnothing$ và N là bão hòa của {0} trong M đối với S, các $Q(p, n)$ với $p \in \Phi$ tạo thành phân tích nguyên sơ rút gọn của N trong M được xác định một cách chính tắc bởi họ $(n_p)_{p \in \Phi}$ và các $S^{-1}Q(p, n)$ với $p \in \Phi$ là phân tích nguyên sơ rút gọn của (0) trong $S^{-1}M$ được xác định một cách chính tắc bởi họ $(n_p)_{p \in \Phi}$. Xét trường hợp riêng của các phân tích nguyên sơ chính tắc.