Exercice 5, § 2

Soient L un $\mathbf{Z}$-module libre de type fini, T un groupe commutatif fini, dont l’ordre est une puissance d’un nombre premier $p$. Montrer que la décomposition primaire canonique (exerc. 4) de $\{0\}$ dans $M = L \oplus T$ est $\{0\} = p^n L \cap T$, où $n$ est le plus petit entier $\geq 0$ tel que $p^n T = 0$ (noter que $p^n M = p^n L$).