Exercice 1, Annexe 0

Soit $I$ un ensemble préordonné non vide filtrant à droite et soit $(A_\alpha,\ \varphi_{\beta\alpha})$ un système inductif d’anneaux relatif à $I$. Pour chaque indice $\alpha$ dans $I$, on se donne un idéal $q_\alpha$ de $A_\alpha$. On suppose qu’on a $\varphi_{\beta\alpha}(q_\alpha)\ A_\beta = q_\beta$ pour $\beta \geqslant \alpha$. On note $A$ la limite inductive des $A_\alpha$, et pour $\alpha \in I$, on note $\varphi_\alpha : A_\alpha \to A$ l’homomorphisme canonique. On pose

a) Si pour tout $\alpha \in I$, $q_\alpha$ est un idéal maximal de $A_\alpha$, alors $q$ est un idéal maximal de $A$. b) Si pour tout $\alpha \in I$, $q_\alpha$ est contenu dans le radical de $A_\alpha$, alors $q$ est contenu dans le radical de $A$. c) Si pour tout $\alpha \in I$ et tout $\beta \in I$, tels que $\beta \geqslant \alpha$, l’homomorphisme $\varphi_{\beta\alpha}$ est fidèlement plat, alors pour tout $\alpha \in I$, $\varphi_\alpha$ est fidèlement plat. Nous supposerons désormais que l’hypothèse de c) est vérifiée. d) Si pour tout $\alpha \in I$, $A_\alpha$ est séparé pour la topologie $q_\alpha$-adique, alors $A$ est séparé pour la topologie $q$-adique. e) Si pour tout $\alpha \in I$, $A_\alpha$ est noethérien et si $A/q$ est noethérien, alors $(1 + q)^{-1}A$ est noethérien. (Raisonner comme dans la démonstration de la prop. 1 de l’Appendice en utilisant en outre le résultat suivant, qu’on démontrera : Soient $B$ un anneau commutatif, $p$ un idéal de $B$, $\hat{B}$ le séparé complété de $B$ pour la topologie $p$-adique, et $i : B \to \hat{B}$ l’application canonique. Alors il existe un et un seul homomorphisme d’anneaux $j : (1 + p)^{-1}B \to \hat{B}$ qui prolonge $i$. Pour tout idéal maximal $m$ de $(1 + p)^{-1}B$, on a $j(m) \hat{B} \neq \hat{B}$.)