Bài tập 1, Phụ lục 0

Cho $I$ là một tập tiền thứ tự lọc phải khác rỗng và cho $(A_\alpha,\ \varphi_{\beta\alpha})$ là một hệ quy nạp các vành tương đối với $I$. Với mỗi chỉ số $\alpha$ trong $I$, cho một iđêan $q_\alpha$ của $A_\alpha$ được cho. Giả sử rằng ta có $\varphi_{\beta\alpha}(q_\alpha)\ A_\beta = q_\beta$ với $\beta \geqslant \alpha$. Gọi $A$ là giới hạn quy nạp của các $A_\alpha$, và với $\alpha \in I$, gọi $\varphi_\alpha : A_\alpha \to A$ là đồng cấu chính tắc. Đặt

a) Nếu với mọi $\alpha \in I$, $q_\alpha$ là một iđêan cực đại của $A_\alpha$, thì $q$ là một iđêan cực đại của $A$. b) Nếu với mọi $\alpha \in I$, $q_\alpha$ được chứa trong căn của $A_\alpha$, thì $q$ được chứa trong căn của $A$. c) Nếu với mọi $\alpha \in I$ và mọi $\beta \in I$, sao cho $\beta \geqslant \alpha$, đồng cấu $\varphi_{\beta\alpha}$ là phẳng trung thành, thì với mọi $\alpha \in I$, $\varphi_\alpha$ là phẳng trung thành. Từ nay về sau ta sẽ giả sử rằng giả thiết của c) được thỏa mãn. d) Nếu với mọi $\alpha \in I$, $A_\alpha$ là tách biệt đối với tôpô $q_\alpha$-adic, thì $A$ là tách biệt đối với tôpô $q$-adic. e) Nếu với mọi $\alpha \in I$, $A_\alpha$ là Noether và nếu $A/q$ là Noether, thì $(1 + q)^{-1}A$ là Noether. (Lý luận như trong chứng minh của Mệnh đề 1 của Phụ lục, sử dụng thêm kết quả sau đây, sẽ được chứng minh: Cho $B$ là một vành giao hoán, $p$ là một iđêan của $B$, $\hat{B}$ là phần bù tách biệt của $B$ đối với tôpô $p$-adic, và $i : B \to \hat{B}$ là ánh xạ chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành $j : (1 + p)^{-1}B \to \hat{B}$ mở rộng $i$. Với mọi iđêan cực đại $m$ của $(1 + p)^{-1}B$, ta có $j(m) \hat{B} \neq \hat{B}$.)