Exercice 10, § 1

Soit k un corps de caractéristique $p$, possédant une $p$-base finie. Soient A un anneau et $\varphi$ un homomorphisme de k dans A, qui fasse de A une $k$-algèbre de type fini. a) Pour tout entier $n \geqslant 1$, A est un module de type fini sur $A^{p^n}$. b) Pour tout entier $n \geqslant 1$, $W_n(A)$ est une $W_n(k)$-algèbre de type fini. (Si $a_1, ..., a_N$ engendrent A comme $k$-algèbre et comme $A^{p^{n-1}}$-module, prouver que les éléments $V^j \tau(a_i), \ 1 \leqslant i \leqslant N, \ 0 \leqslant j \leqslant n-1$, engendrent la $W_n(k)$-algèbre $W_n(A)$.)