Bài tập 10, § 1

Cho k là một trường có đặc số $p$, có một cơ sở $p$ hữu hạn. Cho A là một vành và $\varphi$ là một đồng cấu của k vào A, biến A thành một đại số $k$ sinh hữu hạn. a) Với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, A là một môđun sinh hữu hạn trên $A^{p^n}$. b) Với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, $W_n(A)$ là một đại số sinh hữu hạn trên $W_n(k)$. (Nếu $a_1, ..., a_N$ sinh A như một $k$-đại số và như một $A^{p^{n-1}}$-môđun, hãy chứng minh rằng các phần tử $V^j \tau(a_i), \ 1 \leqslant i \leqslant N, \ 0 \leqslant j \leqslant n-1$ sinh $W_n(k)$-đại số $W_n(A)$.)