Exercice 11, § 1

Algèbre commutative, IX, p. 43

Soit A un anneau de caractéristique $p$ . a) Soit $n \in \mathbf{N}$ ; prouver qu’on a $p^{n-1}/n! \in \mathbf{Z}_{(p)}$ . Prouver que $(nm)!/n!(m!)^n$ est un entier pour $n, m$ dans $\mathbf{N}$ . b) Pour $n \in \mathbf{N}$ , soit $\gamma_n : V_1(A) \to W(A)$ l’application définie par

\begin{align*} \gamma_n(Vx) &= 1 & \text{si } n = 0, \\ \gamma_n(Vx) &= (p^{n-1}/n!) V(x^n) & \text{si } n \geqslant 1. \end{align*}

(i) Prouver qu’on a

\gamma_n(x) \in V_1(A)

n \geqslant 1

x \in V_1(A)

. (ii) Pour

x, y \in V_1(A)

n \in \mathbf{N}

, on a

\gamma_n(x + y) = \sum_{i=0}^n \gamma_i(x) \gamma_{n-i}(y).

(iii) Pour

\lambda \in W(A), \ x \in V_1(A), \ n \in \mathbf{N}

, on a

\gamma_n(\lambda x) = \lambda^n \gamma_n(x).

(iv) Pour

x \in V_1(A)

n, m

dans

\mathbf{N}

, on a

\gamma_n(x) \gamma_m(x) = \binom{m+n}{n} \gamma_{n+m}(x)

\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(nm)!}{n!(m!)^n} \gamma_{nm}(x).

(v) On a

F \gamma_n(Vx) = (p^n/n!) x^n

\gamma_n(px) = (p^n/n!) x^n

, pour

x \in W(A)

Solution

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