Bài tập 11, § 1

Cho $A$ là một vành có đặc số $p$. a) Cho $n \in \mathbf{N}$; chứng minh rằng $p^{n-1}/n! \in \mathbf{Z}_{(p)}$. Chứng minh rằng $(nm)!/n!(m!)^n$ là một số nguyên đối với $n, m$ trong $\mathbf{N}$. b) Với $n \in \mathbf{N}$, cho $\gamma_n : V_1(A) \to W(A)$ là ánh xạ được xác định bởi

(i) Chứng minh rằng ta có $\gamma_n(x) \in V_1(A)$ nếu $n \geqslant 1$ và $x \in V_1(A)$. (ii) Với $x, y \in V_1(A)$ và $n \in \mathbf{N}$, ta có (iii) Với $\lambda \in W(A), \ x \in V_1(A), \ n \in \mathbf{N}$, ta có (iv) Với $x \in V_1(A)$ và $n, m$ trong $\mathbf{N}$, ta có và (v) Ta có $F \gamma_n(Vx) = (p^n/n!) x^n$ và $\gamma_n(px) = (p^n/n!) x^n$, với $x \in W(A)$.