Exercice 12, § 1

Soit A un anneau de caractéristique $p$. Pour tout élément $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $W(A)$ et tout entier $n \in \mathbf{N}$, posons $a_+ = (a_{n+1})_{n \in \mathbf{N}}$. a) On a $a = \tau(a_0) + Va_+$. b) Notons $\alpha : W(A) \to W(A)$ l’application qui à $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ associe

où (cf. exercice précédent) on a posé $\gamma_p(Va_+) = (p^{p-1}/p!) V(a_+^p)$. Prouver que l’on a, dans $W(A)$, l’égalité $Fa = a^p + p \alpha(a)$. c) Prouver que, pour tout entier $n \geq 1$, $\alpha$ définit, par passage aux quotients, une application $\alpha_n$ de $W_{n+1}(A)$ dans $W_n(A)$.