Bài tập 12, § 1

Cho A là một vành có đặc số $p$. Với mọi phần tử $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ của $W(A)$ và mọi số nguyên $n \in \mathbf{N}$, đặt $a_+ = (a_{n+1})_{n \in \mathbf{N}}$. a) Ta có $a = \tau(a_0) + Va_+$. b) Gọi $\alpha : W(A) \to W(A)$ là ánh xạ gán cho $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$

trong đó (xem bài tập trước) ta đã đặt $\gamma_p(Va_+) = (p^{p-1}/p!) V(a_+^p)$. Chứng minh rằng, trong $W(A)$, ta có đẳng thức $Fa = a^p + p \alpha(a)$. c) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n \geq 1$, $\alpha$ xác định, bằng cách chuyển qua các thương, một ánh xạ $\alpha_n$ của $W_{n+1}(A)$ vào $W_n(A)$.