Exercice 14, § 1

Soit A un anneau. On suppose que la multiplication par $p \cdot 1_A$ est injective dans A. Soit $\sigma$ un endomorphisme de A tel que $\sigma(x) \equiv x^p \mod pA$, pour tout $x \in A$. a) Il existe un unique homomorphisme d’anneaux $s_\sigma$ de A dans $W(A)$ qui vérifie

et C’est aussi l’unique homomorphisme $s_\sigma$ de A dans $W(A)$ qui vérifie, pour tout entier $n$ positif, $\Phi_n \circ s_\sigma = \sigma^n$. b) Soit B un anneau. On suppose que la multiplication par $p \cdot 1_B$ est injective dans B. Soit $\sigma'$ un endomorphisme de B tel que $\sigma'(x) \equiv x^p \mod pB$ pour tout $x \in B$. Soit $u$ un homomorphisme de A dans B vérifiant $u \circ \sigma = \sigma' \circ u$. Alors on a $W(u) \circ s_\sigma = s_{\sigma'} \circ u$. c) Si $t_\sigma$ désigne le composé de $s_\sigma$ et de la projection canonique de $W(A)$ sur $W(A/pA)$, prouver que $t_\sigma$ induit, pour tout entier $n \geq 1$, un homomorphisme $t_{\sigma,n}$ de $A/p^nA$ dans $W_n(A/pA)$. d) Si $A/pA$ est parfait, prouver que $t_{\sigma,n}$ est un isomorphisme. (Munissant A de la filtration par les puissances de l’idéal $pA$ et notant $\mathrm{gr}_p(A)$ l’anneau gradué associé, on montrera que l’homomorphisme de $\mathrm{gr}_p(A)$ dans $\mathrm{gr}_V(W(A/pA))$ (cf. exerc. 13) induit par $t_\sigma$ est un isomorphisme.) e) Si $A/pA$ est parfait, et que A est séparé et complet pour la topologie $p$-adique, $t_\sigma$ est un isomorphisme de A sur $W(A/pA)$.