Bài tập 14, § 1

Cho A là một vành. Giả sử rằng phép nhân bởi $p \cdot 1_A$ là đơn ánh trong A. Gọi $\sigma$ là một tự đồng cấu của A sao cho $\sigma(x) \equiv x^p \mod pA$, với mọi $x \in A$. a) Tồn tại một đồng cấu vành duy nhất $s_\sigma$ của A vào $W(A)$ thỏa mãn

và Đồng thời, đó cũng là đồng cấu duy nhất $s_\sigma$ của A vào $W(A)$ sao cho, với mọi số nguyên dương $n$, $\Phi_n \circ s_\sigma = \sigma^n$. b) Cho B là một vành. Giả sử rằng phép nhân bởi $p \cdot 1_B$ là đơn ánh trong B. Gọi $\sigma'$ là một tự đồng cấu của B sao cho $\sigma'(x) \equiv x^p \mod pB$ với mọi $x \in B$. Gọi $u$ là một đồng cấu từ A vào B thỏa mãn $u \circ \sigma = \sigma' \circ u$. Khi đó ta có $W(u) \circ s_\sigma = s_{\sigma'} \circ u$. c) Nếu $t_\sigma$ là hợp thành của $s_\sigma$ và phép chiếu chính tắc của $W(A)$ lên $W(A/pA)$, chứng minh rằng $t_\sigma$ cảm sinh, với mọi số nguyên $n \geq 1$, một đồng cấu $t_{\sigma,n}$ từ $A/p^nA$ vào $W_n(A/pA)$. d) Nếu $A/pA$ hoàn hảo, chứng minh rằng $t_{\sigma,n}$ là một đẳng cấu. (Trang bị cho A lọc bởi các lũy thừa của iđêan $pA$ và ký hiệu $\mathrm{gr}_p(A)$ là vành phân bậc liên kết, ta sẽ chứng minh rằng đồng cấu từ $\mathrm{gr}_p(A)$ vào $\mathrm{gr}_V(W(A/pA))$ (xem Bài tập 13) cảm sinh bởi $t_\sigma$ là một đẳng cấu.) e) Nếu $A/pA$ hoàn hảo, và nếu A tách được và đầy đủ đối với tôpô $p$-adic, thì $t_\sigma$ là một đẳng cấu từ A lên $W(A/pA)$.