Exercice 15, § 1

a) Soit A un anneau tel que la multiplication par $p \cdot 1_A$ dans A soit injective. Alors il existe un unique homomorphisme d’anneaux $s_A$ de $W(A)$ dans $W(W(A))$ qui vérifie

et (où $\Phi_0$ est la projection de $W(W(A))$ sur $W(A)$). C’est aussi l’unique homomorphisme d’anneaux qui vérifie $\Phi_n \circ s_A = F_A^n$ pour tout entier $n \in \mathbf{N}$ (où $\Phi_n : W(W(A)) \to W(A)$ est la $n$-ième composante fantôme dans $W(W(A))$). b) Considérons l’anneau $\mathscr{A} = \mathbf{Z}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}]$ des polynômes en une famille d’indéterminées $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Soit X l’élément $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $W(\mathscr{A})$. Posons $s_{\mathscr{A}}(X) = (s_n(X))_{n \in \mathbf{N}}$, où $s_n(X) \in W(\mathscr{A})$. Pour

EXERCICES

tout anneau A, définissons l’application $s_A$ de $W(A)$ dans $W(W(A))$ par la formule $s_A(a) = (s_n(a))_{n \in \mathbf{N}}$. Prouver que $s_A$ est un homomorphisme d’anneaux vérifiant

et

c) Pour tout homomorphisme d’anneaux $u : B \to A$, on a

d) Les applications $W(s_A) \circ s_A$ et $s_{W(A)} \circ s_A$ de $W(A)$ dans $W(W(W(A)))$ sont égales.

e) Pour tout $x \in A$, on a $s_A(\tau_A(x)) = \tau_{W(A)}(\tau_A(x))$.

f) On a $s_A \circ V_A = V_{W(A)} \circ s_A$, et l’application $s_A$ est continue quand on munit $W(A)$ et $W(W(A))$ des topologies $\mathscr{G}$.