Bài tập 15, § 1

a) Cho A là một vành sao cho phép nhân bởi $p \cdot 1_A$ trong A là đơn ánh. Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành $s_A$ của $W(A)$ vào $W(W(A))$ thỏa mãn

và (trong đó $\Phi_0$ là phép chiếu của $W(W(A))$ lên $W(A)$). Nó cũng là đồng cấu vành duy nhất thỏa mãn $\Phi_n \circ s_A = F_A^n$ với mọi số nguyên $n \in \mathbf{N}$ (trong đó $\Phi_n : W(W(A)) \to W(A)$ là thành phần ma của thứ $n$ trong $W(W(A))$). b) Xét vành $\mathscr{A} = \mathbf{Z}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}]$ các đa thức theo một họ các bất định $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Gọi X là phần tử $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ của $W(\mathscr{A})$. Đặt $s_{\mathscr{A}}(X) = (s_n(X))_{n \in \mathbf{N}}$, trong đó $s_n(X) \in W(\mathscr{A})$. Đối với

BÀI TẬP

mọi vành A, định nghĩa ánh xạ $s_A$ của $W(A)$ vào $W(W(A))$ bởi công thức $s_A(a) = (s_n(a))_{n \in \mathbf{N}}$. Chứng minh rằng $s_A$ là một đồng cấu vành thỏa mãn

và

c) Với mọi đồng cấu vành $u : B \to A$, ta có

d) Các ánh xạ $W(s_A) \circ s_A$ và $s_{W(A)} \circ s_A$ của $W(A)$ vào $W(W(W(A)))$ là bằng nhau.

e) Với mọi $x \in A$, ta có $s_A(\tau_A(x)) = \tau_{W(A)}(\tau_A(x))$.

f) Ta có $s_A \circ V_A = V_{W(A)} \circ s_A$, và ánh xạ $s_A$ là liên tục khi $W(A)$ và $W(W(A))$ được trang bị các tôpô $\mathscr{G}$.