Exercice 16, § 1

a) Soient A, B deux anneaux et $\varphi$ un homomorphisme de A dans B. Alors l’application $W(\varphi)$ permet de munir l’ensemble $W(B)$ et, pour tout $m \in \mathbf{N}$, l’ensemble $W_m(B)$, d’une structure de $W(A)$-module. Si $m$ et $n$ sont deux entiers $\geqslant 0$, tels que $n \geqslant m$, l’application canonique de $W_n(B)$ sur $W_m(B)$ est $W(A)$-linéaire. En outre, $W(B)$ est le $W(A)$-module limite projective des $W_m(B)$.

b) Soient A, B deux anneaux et $\psi$ un homomorphisme de $W(A)$ dans B. Posons $\tilde{\psi} = W(\psi) \circ s_A$ (cf. exerc. 15). L’application $\tilde{\psi}$ de $W(A)$ dans $W(B)$ permet de munir l’ensemble $W(B)$ et, pour tout $m \in \mathbf{N}$, l’ensemble $W_m(B)$, d’une structure de $W(A)$-module, et les deux dernières assertions de a) sont encore vraies. Si $\varphi$ est un homomorphisme de A dans B tel que $\psi = \varphi \circ \Phi_0$, on a $\tilde{\psi} = W(\varphi)$.