Bài tập 16, § 1

a) Cho A, B là hai vành và $\varphi$ là một đồng cấu từ A vào B. Khi đó ánh xạ $W(\varphi)$ cho phép trang bị cho tập hợp $W(B)$ và, với mọi $m \in \mathbf{N}$, tập hợp $W_m(B)$, một cấu trúc $W(A)$-môđun. Nếu $m$ và $n$ là hai số nguyên $\geqslant 0$, sao cho $n \geqslant m$, thì ánh xạ chính tắc từ $W_n(B)$ lên $W_m(B)$ là $W(A)$-tuyến tính. Hơn nữa, $W(B)$ là môđun $W(A)$-giới hạn xạ ảnh của các $W_m(B)$.

b) Cho A, B là hai vành và $\psi$ là một đồng cấu từ $W(A)$ vào B. Đặt $\tilde{\psi} = W(\psi) \circ s_A$ (xem Bài tập 15). Ánh xạ $\tilde{\psi}$ từ $W(A)$ vào $W(B)$ cho phép trang bị cho tập hợp $W(B)$ và, với mọi $m \in \mathbf{N}$, tập hợp $W_m(B)$, một cấu trúc $W(A)$-môđun, và hai khẳng định cuối của a) vẫn đúng. Nếu $\varphi$ là một đồng cấu từ A vào B sao cho $\psi = \varphi \circ \Phi_0$, thì có $\tilde{\psi} = W(\varphi)$.