Exercice 18, § 1

a) Soit L un corps (commutatif). Soient G un groupe d’automorphismes de L et K le corps des invariants de G. Alors tout élément $g$ de G agit sur $W(L)$ (par $W(g)$) et, pour tout entier $n \geqslant 1$, sur $W_n(L)$. L’ensemble des éléments de $W(L)$ (resp. $W_n(L)$) invariants sous l’action de G est $W(K)$ (resp. $W_n(K)$).

b) Supposons que L soit une extension galoisienne finie de K, et notons $\mathbf{Z}[G]$ l’algèbre sur $\mathbf{Z}$ du groupe (fini) G. Pour tout $\mathbf{Z}$-module M, notons $M^G$ le $\mathbf{Z}[G]$-module $\mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(\mathbf{Z}[G], M)$ (muni de sa structure naturelle de $\mathbf{Z}[G]$-module à gauche). Prouver que le $\mathbf{Z}[G]$-module $W(L)$ (resp. $W_n(L)$) est isomorphe à $W(K)^G$ (resp. $W_n(K)^G$). En déduire qu’on a

pour tout entier $i > 0$. (Utiliser le théorème de la base normale A, V, p. 70, th. 6 et A, X, p. 111 à 113.)