Bài tập 18, § 1

a) Cho L là một trường (giao hoán). Cho G là một nhóm các tự đẳng cấu của L, và K là trường các phần tử bất biến của G. Khi đó mỗi phần tử $g$ của G tác động lên $W(L)$ (bởi $W(g)$) và, với mỗi số nguyên $n \geqslant 1$, lên $W_n(L)$. Tập hợp các phần tử của $W(L)$ (tương ứng $W_n(L)$) bất biến đối với tác động của G là $W(K)$ (tương ứng $W_n(K)$).

b) Giả sử rằng L là một mở rộng Galois hữu hạn của K, và ký hiệu $\mathbf{Z}[G]$ là đại số trên $\mathbf{Z}$ của nhóm G (hữu hạn). Với mọi $\mathbf{Z}$-môđun M, ký hiệu $M^G$ là $\mathbf{Z}[G]$-môđun $\mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(\mathbf{Z}[G], M)$ (được trang bị cấu trúc tự nhiên của $\mathbf{Z}[G]$-môđun trái). Chứng minh rằng $\mathbf{Z}[G]$-môđun $W(L)$ (tương ứng $W_n(L)$) là đẳng cấu với $W(K)^G$ (tương ứng $W_n(K)^G$). Suy ra rằng

với mọi số nguyên $i > 0$. (Sử dụng định lý cơ sở chuẩn A, V, p. 70, Định lý 6 và A, X, p. 111 đến 113.)