Exercice 19, § 1

Soient K un corps de caractéristique $p$, P son sous-corps premier, $\Omega$ une clôture algébrique de K. On note $\wp$ l’endomorphisme $x \mapsto Fx - x$ du groupe $W(\Omega)$, et aussi, pour tout entier $n \geqslant 1$, l’endomorphisme de $W_n(\Omega)$ qu’il induit par passage aux quotients.

a) Fixons un entier $n \geqslant 1$. L’endomorphisme $\wp$ de $W(\Omega)$ (resp. $W_n(\Omega)$) laisse stable $W(K)$ (resp. $W_n(K)$) et son noyau est $W(P)$ (resp. $W_n(P)$).

On identifiera, dans la suite de cet exercice, $W(P)$ et $\mathbf{Z}_p$, $W_n(P)$ et $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$ (§ 1, n° 7, exemple 3).

b) Soit $a \in W_n(K)$. Notant V l’homomorphisme de décalage $W_n(K) \to W_{n+1}(K)$, prouver que l’on a $a \in \mathfrak{p} W_n(K)$ si et seulement si l’on a $Va \in \mathfrak{p} W_{n+1}(K)$. Si K est séparablement clos, on a $\mathfrak{p} W_n(K) = W_n(K)$.

c) Soit $a \in W_n(\Omega)$ tel que $\mathfrak{p} a \in W_n(K)$. On note $K(a)$ le sous-corps de $\Omega$ engendré par K et les composantes $a_0, ..., a_{n-1}$ de $a$. Si A est une partie de $W_n(K)$, on note $K(\mathfrak{p}^{-1}(A))$ la sous-extension de $\Omega$ engendrée par les corps $K(a)$, pour tous les éléments $a$ de $W_n(\Omega)$ vérifiant $\mathfrak{p} a \in A$.

Raisonnant comme dans A, V, p. 87 et utilisant l’exercice précédent, prouver les assertions suivantes :

(i) Soit L une extension galoisienne de K dans $\Omega$. Il existe une unique application $(\sigma, a) \mapsto [\sigma, a]$ de $\mathrm{Gal}(L/K) \times (\mathfrak{p} W_n(L) \cap W_n(K))/\mathfrak{p} W_n(K)$ dans $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$ telle que pour tout $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ et tout $x \in W_n(L)$ tel que $\mathfrak{p}(x) \in W_n(K)$, on ait, en notant $\overline{\mathfrak{p}(x)}$ la classe de $\mathfrak{p}(x)$ modulo $\mathfrak{p} W_n(K)$

Si $\sigma, \sigma' \in \mathrm{Gal}(L/K)$ et $a, a' \in (\mathfrak{p} W_n(L) \cap W_n(K))/\mathfrak{p} W_n(K)$, on a

et

(ii) Notons, pour toute extension galoisienne L de K dans $\Omega$,

et

les homomorphismes déduits de l’application $(\sigma, a) \mapsto [\sigma, a]$ construite en (i). Pour toute extension galoisienne L de K dans $\Omega$, l’homomorphisme $a_L$ est injectif, et son image est le groupe des homomorphismes continus du groupe topologique $\mathrm{Gal}(L/K)$ dans le groupe discret $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$.

(iii) L’application $A \mapsto K(\mathfrak{p}^{-1}(A))$ est une bijection de l’ensemble des sous-groupes de $W_n(K)$ contenant $\mathfrak{p} W_n(K)$ sur l’ensemble des extensions de K dans $\Omega$, abéliennes sur K et d’exposant divisant $p^n$. L’application réciproque est $L \mapsto \mathfrak{p} W_n(L) \cap W_n(K)$.

(iv) Pour tout sous-groupe A de $W_n(K)$ contenant $\mathfrak{p} W_n(K)$, l’homomorphisme

est bijectif. Lorsqu’on munit $\mathrm{Hom}(A/\mathfrak{p} W_n(K), \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})$ de la topologie de la convergence simple, c’est un homéomorphisme.