Bài tập 19, § 1

Cho K là một trường có đặc số $p$, P là trường con nguyên tố của nó, $\Omega$ là một bao đóng đại số của K. Ta ký hiệu bởi $\wp$ tự đồng cấu $x \mapsto Fx - x$ của nhóm $W(\Omega)$, và cũng, với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, tự đồng cấu của $W_n(\Omega)$ mà nó cảm sinh được bằng cách chuyển qua thương.

a) Cố định một số nguyên $n \geqslant 1$. Tự đồng cấu $\wp$ của $W(\Omega)$ (tương ứng $W_n(\Omega)$) giữ ổn định $W(K)$ (tương ứng $W_n(K)$) và hạt nhân của nó là $W(P)$ (tương ứng $W_n(P)$).

Trong phần tiếp theo của bài tập này, $W(P)$ và $\mathbf{Z}_p$, $W_n(P)$ và $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$ sẽ được đồng nhất (§ 1, No. 7, Ví dụ 3).

b) Cho $a \in W_n(K)$. Ký hiệu V là đồng cấu chuyển dịch $W_n(K) \to W_{n+1}(K)$, hãy chứng minh rằng có $a \in \mathfrak{p} W_n(K)$ khi và chỉ khi có $Va \in \mathfrak{p} W_{n+1}(K)$. Nếu K đóng tách được, ta có $\mathfrak{p} W_n(K) = W_n(K)$.

c) Cho $a \in W_n(\Omega)$ sao cho $\mathfrak{p} a \in W_n(K)$. Ta ký hiệu bởi $K(a)$ trường con của $\Omega$ sinh bởi K và các thành phần $a_0, ..., a_{n-1}$ của a. Nếu A là một tập con của $W_n(K)$, ta ký hiệu bởi $K(\mathfrak{p}^{-1}(A))$ mở rộng con của $\Omega$ sinh bởi các trường $K(a)$, với mọi phần tử a của $W_n(\Omega)$ thỏa mãn $\mathfrak{p} a \in A$.

Lập luận như trong A, V, p. 87 và sử dụng bài tập trước, hãy chứng minh các khẳng định sau:

(i) Cho L là một mở rộng Galois của K trong $\Omega$. Tồn tại một ánh xạ duy nhất $(\sigma, a) \mapsto [\sigma, a]$ từ $\mathrm{Gal}(L/K) \times (\mathfrak{p} W_n(L) \cap W_n(K))/\mathfrak{p} W_n(K)$ vào $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$ sao cho với mọi $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ và mọi $x \in W_n(L)$ sao cho $\mathfrak{p}(x) \in W_n(K)$, ta có, ký hiệu bởi $\overline{\mathfrak{p}(x)}$ lớp của $\mathfrak{p}(x)$ modulo $\mathfrak{p} W_n(K)$

Nếu $\sigma, \sigma' \in \mathrm{Gal}(L/K)$ và a, $a' \in (\mathfrak{p} W_n(L) \cap W_n(K))/\mathfrak{p} W_n(K)$, ta có

và

(ii) Ta ký hiệu, với mọi mở rộng Galois L của K trong $\Omega$,

và

là các đồng cấu suy ra từ ánh xạ $(\sigma, a) \mapsto [\sigma, a]$ được xây dựng trong (i). Với mọi mở rộng Galois L của K trong $\Omega$, đồng cấu $a_L$ là đơn ánh, và ảnh của nó là nhóm các đồng cấu liên tục của nhóm tôpô $\mathrm{Gal}(L/K)$ vào nhóm rời rạc $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$.

(iii) Ánh xạ $A \mapsto K(\mathfrak{p}^{-1}(A))$ là một song ánh của tập hợp các nhóm con của $W_n(K)$ chứa $\mathfrak{p} W_n(K)$ lên tập hợp các mở rộng của K trong $\Omega$, Abel trên K và có số mũ là ước của $p^n$. Ánh xạ nghịch đảo là $L \mapsto \mathfrak{p} W_n(L) \cap W_n(K)$.

(iv) Đối với mọi nhóm con A của $W_n(K)$ chứa $\mathfrak{p} W_n(K)$, đồng cấu

là song ánh. Khi trang bị cho $\mathrm{Hom}(A/\mathfrak{p} W_n(K), \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})$ tôpô hội tụ đơn giản, nó là một đồng phôi.