Exercice 21, § 1

Conservons les hypothèses et notations des deux exercices précédents. a) La multiplication par $p$ dans $W(K)/p\mathscr{W}(K)$ est injective. b) Soit $a$ un élément de $W(\Omega)$ tel que $a \notin W(K)$ et $pa \in W(K)$. On note $K(a)$ le sous-corps de $\Omega$ engendré sur $K$ par les composantes $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $a$. Prouver que $K(a)$ est une extension abélienne de $K$, dont le groupe de Galois est isomorphe au groupe topologique $\mathbf{Z}_p$. c) Si $A$ est une partie de $W(K)$, on note $K(p^{-1}(A))$ la sous-extension de $\Omega$ engendrée par les corps $K(a)$ pour tous les éléments $a$ de $W(\Omega)$ tels que $pa \in A$. Prouver dans cette situation des assertions analogues aux assertions (i) à (iv) de l’exerc. 19, c). d) Soit $\Gamma$ le groupe des automorphismes de $\Omega$ sur $K$. Soient $n$ un entier $\geqslant 1$ et $\varphi_n$ un homomorphisme continu de $\Gamma$ dans $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$. Prouver qu’il existe un homomorphisme continu $\varphi$ de $\Gamma$ dans $\mathbf{Z}_p$ qui induise $\varphi_n$ par passage au quotient. Désignant par $\mathrm{Hom}_c(\Gamma, \Gamma')$ le groupe des homomorphismes continus de $\Gamma$ dans $\Gamma'$, $\Gamma'$ étant un groupe topologique, prouver que l’application canonique

est un isomorphisme.