Bài tập 21, § 1

Ta giữ lại các giả thiết và các ký hiệu của hai bài tập trước. a) Phép nhân với $p$ trong $W(K)/p\mathscr{W}(K)$ là đơn ánh. b) Cho $a$ là một phần tử của $W(\Omega)$ sao cho $a \notin W(K)$ và $pa \in W(K)$. Ký hiệu $K(a)$ là trường con của $\Omega$ sinh trên $K$ bởi các thành phần $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ của $a$. Chứng minh rằng $K(a)$ là một mở rộng Abel của $K$, có nhóm Galois đẳng cấu với nhóm tôpô $\mathbf{Z}_p$. c) Nếu $A$ là một tập con của $W(K)$, ký hiệu $K(p^{-1}(A))$ là mở rộng con của $\Omega$ sinh bởi các trường $K(a)$ với mọi phần tử $a$ của $W(\Omega)$ sao cho $pa \in A$. Chứng minh trong trường hợp này các khẳng định tương tự như các khẳng định (i) đến (iv) của bài tập 19, c). d) Cho $\Gamma$ là nhóm tự đẳng cấu của $\Omega$ trên $K$. Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$ và cho $\varphi_n$ là một đồng cấu liên tục của $\Gamma$ vào $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu liên tục $\varphi$ của $\Gamma$ vào $\mathbf{Z}_p$ cảm sinh $\varphi_n$ bằng cách chuyển qua thương. Ký hiệu $\mathrm{Hom}_c(\Gamma, \Gamma')$ là nhóm các đồng cấu liên tục của $\Gamma$ vào $\Gamma'$, với $\Gamma'$ là một nhóm tôpô, chứng minh rằng ánh xạ chính tắc

là một đẳng cấu.