Exercice 22, § 1

Soit $A$ une $\mathbf{Z}_{(p)}$-algèbre. On note $\mathscr{D}_A$ l’algèbre sur $W(A)$ engendrée par deux indéterminées $F$ et $V$ soumises aux relations

où $F$ et $V$ désignent respectivement les homomorphismes de Frobenius et de décalage de $W(A)$. a) Soit $B$ une $A$-algèbre. Faisant agir $F$ et $V$ sur $W(B)$ par les homomorphismes de Frobenius et de décalage de $W(B)$, on munit $W(B)$ d’une structure de $\mathscr{D}_A$-module. De même pour chaque entier $n \geqslant 1$, $W_n(B)$ est un $\mathscr{D}_A$-module. b) Pour tout élément $x$ de $\mathscr{D}_A$, il existe une famille $(a_i)_{i \in \mathbf{Z}}$, à support fini, d’éléments de $W(A)$, caractérisée par l’égalité c) Supposons $W(A)$ intègre. Soit $x \in \mathscr{D}_A$. On note $\delta(x)$ le plus grand entier $n$ tel que $a_n$ soit non nul. Si $x$ et $y$ sont deux éléments non nuls de $\mathscr{D}_A$, on a $\delta(xy) = \delta(x) + \delta(y)$. En déduire que $\mathscr{D}_A$ est intègre. d) Si $A$ est un anneau parfait de caractéristique $p$, on peut remplacer la condition $VaF = Va$ pour $a \in W(A)$ par la condition $VF = p$. L’idéal à gauche $\mathscr{D}_A V$ de $\mathscr{D}_A$ est bilatère. e) Si $k$ est un corps parfait de caractéristique $p$, $\mathscr{D}_k$ est noethérien. (Considérer $\mathscr{D}_k$ comme quotient de l’anneau engendré sur $W(k)$ par deux indéterminées $X$ et $Y$ soumises aux relations $XY = YX$ et $Xa = (Fa)X, aY = Y(Fa)$ pour $a \in W(k)$. Appliquer ensuite, III, § 2, no 8, corollaire 2 au th. 1 et exerc. 10.)