Bài tập 22, § 1

Cho $A$ là một $\mathbf{Z}_{(p)}$-đại số. Ta ký hiệu $\mathscr{D}_A$ là đại số trên $W(A)$ sinh bởi hai bất định $F$ và $V$ thỏa mãn các hệ thức

trong đó $F$ và $V$ lần lượt ký hiệu các đồng cấu Frobenius và dịch chuyển của $W(A)$. a) Cho $B$ là một $A$-đại số. Cho $F$ và $V$ tác động trên $W(B)$ bởi các đồng cấu Frobenius và dịch chuyển của $W(B)$, ta trang bị cho $W(B)$ một cấu trúc $\mathscr{D}_A$-môđun. Tương tự, với mỗi số nguyên $n \geqslant 1$, $W_n(B)$ là một $\mathscr{D}_A$-môđun. b) Với mọi phần tử $x$ của $\mathscr{D}_A$, tồn tại một họ hữu hạn giá $(a_i)_{i \in \mathbf{Z}}$ các phần tử của $W(A)$, được đặc trưng bởi đẳng thức c) Giả sử $W(A)$ là một miền nguyên. Cho $x \in \mathscr{D}_A$. Ta ký hiệu $\delta(x)$ là số nguyên lớn nhất $n$ sao cho $a_n$ khác không. Nếu $x$ và $y$ là hai phần tử khác không của $\mathscr{D}_A$, ta có $\delta(xy) = \delta(x) + \delta(y)$. Suy ra rằng $\mathscr{D}_A$ là một miền nguyên. d) Nếu $A$ là một vành hoàn hảo có đặc số $p$, ta có thể thay thế điều kiện $VaF = Va$ cho $a \in W(A)$ bằng điều kiện $VF = p$. Iđêan trái $\mathscr{D}_A V$ của $\mathscr{D}_A$ là hai phía. e) Nếu $k$ là một trường hoàn hảo có đặc số $p$, $\mathscr{D}_k$ là Noether. (Xét $\mathscr{D}_k$ như thương của vành sinh trên $W(k)$ bởi hai bất định $X$ và $Y$ thỏa mãn các hệ thức $XY = YX$ và $Xa = (Fa)X, aY = Y(Fa)$ cho $a \in W(k)$. Khi đó áp dụng III, § 2, No. 8, hệ quả 2 cho Định lý 1 và Bài tập 10.)