Exercice 23, § 1

Soient $A$ un anneau et $I$ l’ensemble des entiers négatifs. Soient $m$ un entier $\geqslant 1$ et $[a_0, ..., a_{m-1}]$ un élément de $W_m(A)$. Associons-lui l’élément $(b_i)_{i \in I}$ de $A^I$ défini par

On identifie ainsi $W_m(A)$ à un sous-ensemble de $A^1$. a) Pour tout entier $n \geqslant 0$, l’application $V_n : W_n(A) \to W_{n+1}(A)$ induite par le décalage est un homomorphisme de groupes. Les identifications des groupes $W_n(A)$ à des sous-ensembles de $A^1$ sont compatibles aux applications $V_n$ et permettent d’identifier le groupe $\lim \overrightarrow{W_n(A)}$, limite inductive des groupes $W_n(A)$ suivant les $V_n$, au sous-ensemble $CW^u(A)$ de $A^1$ formé des éléments dont les composantes sont nulles sauf un nombre fini, éléments qu’on appellera covecteurs de Witt unipotents. Par transport de structure, on obtient sur ce sous-ensemble une structure de groupe. b) Pour $a = (a_i)_{i \in I}$ et $b = (b_i)_{i \in I}$ dans $CW^u(A)$, on a

pour tout entier $m$ suffisamment grand. c) Pour tout homomorphisme d’anneaux $\varphi : A \to B$, l’application $CW^u(\varphi) : CW^u(A) \to CW^u(B)$ définie par $CW^u(\varphi)(a_i)_{i \in I} = (\varphi(a_i))_{i \in I}$ est un homomorphisme de groupes.