Bài tập 23, § 1

Cho $A$ là một vành và $I$ là tập hợp các số nguyên âm. Cho $m$ là một số nguyên $\geqslant 1$ và $[a_0, ..., a_{m-1}]$ là một phần tử của $W_m(A)$. Gắn với nó phần tử $(b_i)_{i \in I}$ của $A^I$ được xác định bởi

Do đó $W_m(A)$ được đồng nhất với một tập con của $A^1$. a) Với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, ánh xạ $V_n : W_n(A) \to W_{n+1}(A)$ cảm sinh bởi phép dịch là một đồng cấu nhóm. Các phép đồng nhất các nhóm $W_n(A)$ với các tập con của $A^1$ tương thích với các ánh xạ $V_n$ và cho phép đồng nhất nhóm $\lim \overrightarrow{W_n(A)}$, giới hạn quy nạp của các nhóm $W_n(A)$ đối với các $V_n$, với tập con $CW^u(A)$ của $A^1$ được tạo thành bởi các phần tử mà tất cả trừ một số hữu hạn các thành phần của chúng đều bằng không, các phần tử này sẽ được gọi là côvectơ Witt đơn vị. Bằng phép chuyển cấu trúc, ta thu được trên tập con này một cấu trúc nhóm. b) Với $a = (a_i)_{i \in I}$ và $b = (b_i)_{i \in I}$ trong $CW^u(A)$, ta có

với mọi số nguyên $m$ đủ lớn. c) Với mọi đồng cấu vành $\varphi : A \to B$, ánh xạ $CW^u(\varphi) : CW^u(A) \to CW^u(B)$ được xác định bởi $CW^u(\varphi)(a_i)_{i \in I} = (\varphi(a_i))_{i \in I}$ là một đồng cấu nhóm.