Exercice 24, § 1

Soit $I$ l’ensemble des entiers négatifs. Pour tout anneau $A$, tout idéal nilpotent $\mathfrak{n}$ de $A$, et tout entier $r \geqslant 0$, soit $CW(A, \mathfrak{n}, r)$ le sous-ensemble de $A^1$ formé des éléments $(a_i)_{i \in I}$ tels que $a_{-n} \in \mathfrak{n}$ si $n \geqslant r$. Autrement dit, on a

On munit $CW(A, \mathfrak{n}, r)$ de la topologie produit, chaque facteur $A$ ou $\mathfrak{n}$ étant muni de la topologie discrète. On note $CW(A)$ la réunion des $CW(A, \mathfrak{n}, r)$ et on munit $CW(A)$ de la topologie limite inductive. Pour cette topologie, $CW(A)$ est séparé et $CW^u(A)$ (cf. exerc. 23) est dense dans $CW(A)$. Les éléments de $CW(A)$ sont appelés covecteurs de Witt de A. a) Soit $t$ un entier positif, et soient $\omega_0, ..., \omega_t$ des entiers positifs tels que $\omega_0$ soit non nul et que $p^{t+1}$ divise $\sum_{i=0}^t p^i \omega_i$. Alors on a $\sum_{i=0}^t \omega_i \geqslant t(p-1) + p$. b) Soit $\mathscr{A}$ l’anneau $\mathbf{Z}[X, Y]$ des polynômes en deux familles d’indéterminées $X = (X_i)_{i \in I}$ et $Y = (Y_i)_{i \in I}$. Pour tout entier $r \geqslant 0$, soit $\mathfrak{n}_r$ l’idéal de $\mathscr{A}$ engendré par les $X_{-n}$ et $Y_{-n}$ pour $n \geqslant r$. Soient $r$ et $s$ deux entiers $\geqslant 1$. Alors on a modulo $\mathfrak{n}_r^s$ pour tout entier $m \geqslant r-1$ si $s < p$ et pour tout entier $m \geqslant r-1 + (s-p)/(p-1)$ si $s \geqslant p$. (Par des arguments de poids, montrer que la différence des deux membres est combinaison linéaire à coefficients entiers de termes de la forme $X_{-m-1}^{u_0} Y_{-m-1}^{v_0} X_{-m}^{u_1} Y_{-m}^{v_1} ... X_0^{u_{m+1}} Y_0^{v_{m+1}}$) où, si l’on pose $\omega_i = u_i + v_i$ pour $0 \leqslant i \leqslant m+1$, on a $\omega_0 \neq 0$ et $\sum_{i=0}^t p^i \omega_i = p^{m+1}$. Utiliser alors a). c) Soient $A$ un anneau, $\mathfrak{n}$ un idéal nilpotent de $A$, $r$ un entier positif et $a, b$ deux éléments de $CW(A, \mathfrak{n}, r)$. Alors : (i) Pour tout entier $n \geqslant 0$, la suite des éléments de $A$ est stationnaire. (ii) Pour tout entier $n \geqslant 0$, soit $c_{-n}$ la limite de la suite précédente. Alors l’élément $c = (c_i)_{i \in I}$ appartient à $CW(A, \mathfrak{n}, r)$. On posera $a + b = c$. (iii) La loi d’addition précédente munit $CW(A)$ d’une structure de groupe commutatif, compatible avec sa topologie. Pour tout idéal nilpotent $\mathfrak{n}$ de $A$ et tout entier $r \geqslant 0$, le sous-ensemble $CW(A, \mathfrak{n}, r)$ de $CW(A)$ en est un sous-groupe topologique. Il en est de même de $CW^u(A)$. d) Soient $A$ et $B$ deux anneaux, $\varphi$ un homomorphisme d’anneaux de $A$ dans $B$. Notons $CW(\varphi)$ l’application de $CW(A)$ dans $CW(B)$ qui à $(a_i)_{i \in I}$ associe $(\varphi(a_i))_{i \in I}$. Alors $CW(\varphi)$ est un homomorphisme de groupes et une application continue.