Bài tập 24, § 1

Cho $I$ là tập hợp các số nguyên âm. Với mọi vành $A$, mọi iđêan hai phía lũy linh $\mathfrak{n}$ của $A$, và mọi số nguyên $r \geqslant 0$, gọi $CW(A, \mathfrak{n}, r)$ là tập con của $A^1$ gồm các phần tử $(a_i)_{i \in I}$ sao cho $a_{-n} \in \mathfrak{n}$ nếu $n \geqslant r$. Nói cách khác, ta có

Trang bị cho $CW(A, \mathfrak{n}, r)$ tôpô tích, trong đó mỗi nhân tử $A$ hoặc $\mathfrak{n}$ được trang bị tôpô rời rạc. Gọi $CW(A)$ là hợp của các $CW(A, \mathfrak{n}, r)$, và trang bị cho $CW(A)$ tôpô giới hạn quy nạp. Đối với tôpô này, $CW(A)$ là Hausdorff và $CW^u(A)$ (xem bài tập 23) trù mật trong $CW(A)$. Các phần tử của $CW(A)$ được gọi là côvectơ Witt của A. a) Cho $t$ là một số nguyên dương, và cho $\omega_0, ..., \omega_t$ là các số nguyên dương sao cho $\omega_0$ khác không và $p^{t+1}$ chia hết cho $\sum_{i=0}^t p^i \omega_i$. Khi đó ta có $\sum_{i=0}^t \omega_i \geqslant t(p-1) + p$. b) Cho $\mathscr{A}$ là vành $\mathbf{Z}[X, Y]$ các đa thức theo hai họ các bất định $X = (X_i)_{i \in I}$ và $Y = (Y_i)_{i \in I}$. Với mọi số nguyên $r \geqslant 0$, gọi $\mathfrak{n}_r$ là iđêan của $\mathscr{A}$ sinh bởi các $X_{-n}$ và $Y_{-n}$ với $n \geqslant r$. Cho $r$ và $s$ là hai số nguyên $\geqslant 1$. Khi đó ta có theo môđun $\mathfrak{n}_r^s$ với mọi số nguyên $m \geqslant r-1$ nếu $s < p$ và với mọi số nguyên $m \geqslant r-1 + (s-p)/(p-1)$ nếu $s \geqslant p$. (Theo các lập luận về trọng số, bây giờ chứng minh rằng hiệu của hai vế là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên của các hạng tử có dạng $X_{-m-1}^{u_0} Y_{-m-1}^{v_0} X_{-m}^{u_1} Y_{-m}^{v_1} ... X_0^{u_{m+1}} Y_0^{v_{m+1}}$) trong đó, nếu đặt $\omega_i = u_i + v_i$ với $0 \leqslant i \leqslant m+1$, thì $\omega_0$ khác không và $\sum_{i=0}^t p^i \omega_i = p^{m+1}$. Sau đó sử dụng a). c) Cho $A$ là một vành, $\mathfrak{n}$ là một iđêan hai phía lũy linh của $A$, $r$ là một số nguyên dương, và $a, b$ là hai phần tử của $CW(A, \mathfrak{n}, r)$. Khi đó: (i) Với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, dãy các phần tử của $A$ là dừng. (ii) Với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, gọi $c_{-n}$ là giới hạn của dãy trên. Khi đó phần tử $c = (c_i)_{i \in I}$ thuộc $CW(A, \mathfrak{n}, r)$. Ta đặt $a + b = c$. (iii) Luật phép cộng trên trang bị cho $CW(A)$ một cấu trúc nhóm giao hoán, tương thích với tôpô của nó. Với mọi iđêan hai phía lũy linh $\mathfrak{n}$ của $A$ và mọi số nguyên $r \geqslant 0$, tập con $CW(A, \mathfrak{n}, r)$ của $CW(A)$ là một nhóm con tôpô của nó. Điều tương tự cũng đúng với $CW^u(A)$. d) Cho $A$ và $B$ là hai vành, $\varphi$ là một đồng cấu vành từ $A$ vào $B$. Ký hiệu $CW(\varphi)$ là ánh xạ từ $CW(A)$ vào $CW(B)$ biến $(a_i)_{i \in I}$ thành $(\varphi(a_i))_{i \in I}$. Khi đó $CW(\varphi)$ là một đồng cấu nhóm và một ánh xạ liên tục.