Exercice 25, § 1

Soit A un anneau parfait de caractéristique $p$. a) Soient B une A-algèbre et $\varphi : A \to B$ l’homomorphisme structural. Pour tout entier $n \geqslant 1$, munissons le groupe $W_n(B)$ de la structure de $W(A)$-module définie par

Muni de l’action de F par l’homomorphisme de Frobenius F et de V par l’homomorphisme de décalage V, $W_n(B)$ est alors un $\mathscr{D}_A$-module (exerc. 22). L’application $V_n : W_n(B) \to W_{n+1}(B)$ induite par le décalage est un homomorphisme de $\mathscr{D}_A$-modules. Par transport de structure, on munit le groupe $CW^n(B)$ d’une structure de $\mathscr{D}_A$-module. b) Soit $\mathscr{A}$ l’anneau de polynômes $A[X]$ en une famille $X = (X_i)_{i \in I}$ d’indéterminées. Pour tout entier $r \geqslant 0$, soit $b_r$ l’idéal de $\mathscr{A}$ engendré par les $X_{-n}$, pour $n \geqslant r$. Soient $r$ et $s$ des entiers $\geqslant 1$. Alors, pour tout élément $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $W(A)$, on a pour tout entier $m \geqslant r - 1$ si $s < p$, et pour tout entier $m \geqslant r - 1 + (s - p)/(p - 1)$ si $s \geqslant p$. c) Soient B une A-algèbre et $\varphi : A \to B$ l’homomorphisme structural. Soient $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ un élément de $W(A)$, et $b = (b_i)_{i \in I}$ un élément de $CW(B)$. Pour tout entier $n \geqslant 0$, la suite des éléments $P_m(\varphi(a_0^{p^{-n-m}}), ..., \varphi(a_m^{p^{-n-m}}); b_{-m-n}, ..., b_{-n})$ est stationnaire. Notant $c_{-n}$ la limite de cette suite, l’élément $c = (c_i)_{i \in I}$ appartient à $CW(B)$. Posons $c = a.b$. L’application de $W(A) \times CW(B)$ dans $CW(B)$ qui à $(a, b)$ associe $c$, munit $CW(B)$ d’une structure de $W(A)$-module, qui prolonge la structure de $W(A)$-module de $CW^n(A)$. Pour tout $a \in A$ et tout $b \in CW(B)$, on a et Si pour tout $b \in CW(B)$, on pose alors F et V sont des endomorphismes continus de $CW(B)$ et permettent de munir $CW(B)$ d’une structure de $\mathscr{D}_A$-module. Le $\mathscr{D}_A$-module $CW^n(B)$ est un sous-$\mathscr{D}_A$-module de $CW(B)$.