Bài tập 25, § 1

Cho A là một vành hoàn hảo có đặc số $p$. a) Cho B là một đại số trên A và $\varphi : A \to B$ là đồng cấu cấu trúc. Với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, trang bị cho nhóm $W_n(B)$ cấu trúc môđun $W(A)$ được xác định bởi

Được trang bị tác động của F bởi đồng cấu Frobenius và của V bởi đồng cấu dịch chuyển V, $W_n(B)$ khi đó là một $\mathscr{D}_A$-môđun (Bài tập 22). Ánh xạ $V_n : W_n(B) \to W_{n+1}(B)$ cảm sinh bởi phép dịch chuyển là một đồng cấu của các $\mathscr{D}_A$-môđun. Bởi phép chuyển cấu trúc, nhóm $CW^n(B)$ được trang bị một cấu trúc của $\mathscr{D}_A$-môđun. b) Cho $\mathscr{A}$ là vành đa thức $A[X]$ trong một họ $X = (X_i)_{i \in I}$ các bất định. Với mọi số nguyên $r \geqslant 0$, gọi $b_r$ là iđêan của $\mathscr{A}$ sinh bởi các $X_{-n}$, với $n \geqslant r$. Cho $r$ và $s$ là các số nguyên $\geqslant 1$. Khi đó, với mọi phần tử $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ của $W(A)$, ta có với mọi số nguyên $m \geqslant r - 1$ nếu $s < p$, và với mọi số nguyên $m \geqslant r - 1 + (s - p)/(p - 1)$ nếu $s \geqslant p$. c) Cho B là một đại số trên A và $\varphi : A \to B$ là đồng cấu cấu trúc. Cho $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một phần tử của $W(A)$, và $b = (b_i)_{i \in I}$ là một phần tử của $CW(B)$. Với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, dãy các phần tử $P_m(\varphi(a_0^{p^{-n-m}}), ..., \varphi(a_m^{p^{-n-m}}); b_{-m-n}, ..., b_{-n})$ là dừng. Gọi $c_{-n}$ là giới hạn của dãy này, phần tử $c = (c_i)_{i \in I}$ thuộc về $CW(B)$. Đặt $c = a.b$. Ánh xạ từ $W(A) \times CW(B)$ vào $CW(B)$ gán c với $(a, b)$ trang bị cho $CW(B)$ một cấu trúc môđun $W(A)$, mở rộng cấu trúc môđun $W(A)$ của $CW^n(A)$. Với mọi $a \in A$ và mọi $b \in CW(B)$, ta có và Nếu, với mọi $b \in CW(B)$, ta đặt thì F và V là các tự đồng cấu liên tục của $CW(B)$ và cho phép trang bị cho $CW(B)$ một cấu trúc của $\mathscr{D}_A$-môđun. $\mathscr{D}_A$-môđun $CW^n(B)$ là một môđun con-$\mathscr{D}_A$ của $CW(B)$.