Exercice 28, § 1

Soit $J$ l’ensemble des entiers $\geqslant 1$. Pour tout $n \in J$, notons $J_n$ l’ensemble des entiers $d \geqslant 1$ qui divisent $n$. Soit $A$ un anneau. On munit $A^J$ de sa structure d’anneau produit. On définit les applications $\Phi, f_n, v_n (n \in J)$ de $A^J$ dans lui-même par les formules suivantes. Pour $a = (a_j)_{j \in J}$, on pose

on convient que $a_{m/n} = 0$ si $m/n \notin J$. Remarquons que $\Phi_n$ ne dépend que des $a_d$ ($d \in J_n$). On écrira parfois $\Phi_n((a_d)_{d \in J_n})$ au lieu de $\Phi_n(a)$.

Pour tout nombre premier $p$, on note $w_p$ la valuation $p$-adique de $\mathbf{Q}$. Ces notations seront conservées dans la suite des exercices du § 1. a) $f_n$ est un endomorphisme de l’anneau $A^J$, et $f_n \circ f_m = f_{nm}$ quels que soient $n, m$ dans $J$. b) $v_n$ est un endomorphisme du groupe additif de $A^J$, et $v_n \circ v_m = v_{nm}$ quels que soient $n, m$ dans $J$. Soient $n, m$ dans $J$ et $d = \mathrm{pgcd}(m, n)$ c) On a $f_n \circ v_m = d \cdot v_{m/d} \circ f_{n/d}$. En particulier $f_n \circ v_n = n.\mathrm{Id}$, et $f_n \circ v_m = v_m \circ f_n$ si $d = 1$. d) Quels que soient $a, b$ dans $A^J$ on a

(La seconde formule résulte de la première, et la troisième de la seconde en prenant $a = 1$.) En particulier, on a

et

si $d = 1$.