Bài tập 28, § 1

Cho $J$ là tập hợp các số nguyên $\geqslant 1$. Với mọi $n \in J$, ký hiệu $J_n$ là tập hợp các số nguyên $d \geqslant 1$ chia hết $n$. Cho $A$ là một vành. Ta trang bị cho $A^J$ cấu trúc một vành tích. Ta định nghĩa các ánh xạ $\Phi, f_n, v_n (n \in J)$ từ $A^J$ vào chính nó bởi các công thức sau. Với $a = (a_j)_{j \in J}$, đặt

với quy ước rằng $a_{m/n} = 0$ nếu $m/n \notin J$. Chú ý rằng $\Phi_n$ chỉ phụ thuộc vào các $a_d$ ($d \in J_n$). Đôi khi ta viết $\Phi_n((a_d)_{d \in J_n})$ thay cho $\Phi_n(a)$.

Với mọi số nguyên tố $p$, ký hiệu $w_p$ là định giá $p$-adic của $\mathbf{Q}$. Các ký hiệu này sẽ được giữ nguyên trong các bài tập tiếp theo trong § 1. a) $f_n$ là một tự đồng cấu của vành $A^J$, và $f_n \circ f_m = f_{nm}$ với mọi $n, m$ trong $J$. b) $v_n$ là một tự đồng cấu của nhóm cộng của $A^J$, và $v_n \circ v_m = v_{nm}$ với mọi $n, m$ trong $J$. Cho $n, m$ thuộc $J$ và $d = \mathrm{pgcd}(m, n)$ c) Ta có $f_n \circ v_m = d \cdot v_{m/d} \circ f_{n/d}$. Đặc biệt $f_n \circ v_n = n.\mathrm{Id}$, và $f_n \circ v_m = v_m \circ f_n$ nếu $d = 1$. d) Với mọi $a, b$ trong $A^J$, ta có

(Công thức thứ hai suy ra từ công thức thứ nhất, và công thức thứ ba suy ra từ công thức thứ hai bằng cách lấy $a = 1$.) Đặc biệt, ta có

và

nếu $d = 1$.